Derivata de ordin superior#

Nu ne vom abate prea tare prin această curiozitate, însă vom arăta că derivata de ordin superior nu prezintă o problemă serioasă, datorită diferențelor finite repetate.

Diferențe finite repetate#

Conceptul de diferență finită poate fi extins pentru a cuprinde și discretizarea derivatelor de ordin superior, nu numai pentru ordinul I.

Fie \(f:[a,b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) o funcție de clasă \(C^{n-1}\), unde \(n\in\mathbb{N}^*\).

Atunci, repetarea unui operator de diferență finită de \(n\) ori va avea următorul efect (ce NU trebuie memorat, având mai mult sens în contextul derivatelor de ordin superior):

• Pentru diferența finită înainte (\(\Delta\)):

  \[ \Delta_h^n[f](x)=\Delta_h\left[\Delta_h^{n-1}[f]\right](x)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\cdot C_n^k\cdot f(x+kh) \]

• Pentru diferența finită înapoi (\(\nabla\)):

  \[ \nabla_h^n[f](x)=\nabla_h\left[\nabla_h^{n-1}[f]\right](x)=\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\cdot C_n^k\cdot f(x-kh) \]

• Pentru diferența finită centrată (\(\delta\)):

  \[ \delta_h^n[f](x)=\delta_h\left[\delta_h^{n-1}[f]\right](x)=\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\cdot C_n^k\cdot f\left(x+\left(\frac{n}{2}-k\right)h\right) \]

Derivata de ordin 2#

Fie \(f:[a,b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) o funcție astfel încât \(f\in C^2\).

Atunci, se obține următorul sistem, spărgând \(f(x+h)\) și \(f(x-h)\) în serii Taylor (Maclaurin) în jurul lui \(x\), unde \(x\in[a,b]\) și \(h\to0\):

\[\begin{split} f(x+h)&=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2+\frac{f^{(3)}(x)}{3!}h^3+\frac{f^{(4)}(x)}{4!}h^4+O(h^5)\\ f(x-h)&=f(x)-f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2-\frac{f^{(3)}(x)}{3!}h^3+\frac{f^{(4)}(x)}{4!}h^4-O(h^5) \end{split}\]

Prin adunarea acestor ecuații, se obține:

\[ f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f''(x)h^2+2\frac{f^{(4)}(x)}{4!}h^4+2O(h^6) \]

Extragem acum \(f''(x)\) din ecuația la care am ajuns și obținem:

\[ \boxed{ f''(x)\approx\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}-\frac{f^{(4)}(x)}{12}h^2 }\,,\,\,\forall x\in[a,b] \]

Din ecuația precedentă, deducem totodată eroarea rezultatului nostru: \( \varepsilon(x)=-\frac{f^{(4)}(x)}{12}h^2 ,\,\forall x\in[a,b] \). Ilustrăm în cele ce urmează legătura cu diferențele finite:

\[ f''(x)\approx\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}=\frac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{f(x)-f(x-h)}{h}}{h}=\frac{\delta_h^2[f](x)}{h^2} \]

Așadar, se poate realiza cu ușurință caculul unei derivate de ordin 2 utilizând această formulă.

Derivata de ordin n#

În spiritul diferențelor finite, metoda descrisă anterior ia, pentru o funcție \(f:[a,b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), \(f\in C^n\), \(n\in\mathbb{N}^*\), următoarea formă:

\[ \boxed{\frac{d^nf}{dx^n}(x)=\frac{\delta_h^n[f](x)}{h^n}+O(h^2)}\,,\,\,\forall x\in[a,b] \]

Nu vom demonstra această relație, însă vom menționa faptul că eroarea acestei metode poate fi îmbunătățită folosind extrapolarea Richardson. Totodată, aceasta nu este unica formulare posibilă a relației:

\[ \frac{d^nf}{dx^n}(x)=\begin{cases} \dfrac{\Delta_h^n[f](x)}{h^n}+O(h)\\\\ \dfrac{\nabla_h^n[f](x)}{h^n}+O(h)\\\\ \dfrac{\delta_h^n[f](x)}{h^n}+O(h^2)\\ \end{cases},\,\forall x\in[a,b] \]

Se observă așadar că cea mai mică eroare provine totuși din formula inițială, \(\dfrac{d^nf}{dx^n}(x)=\dfrac{\delta_h^n[f](x)}{h^n}\), unde eroarea este \(O(h^2)\).

Licență#

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0