Aproximare Padé#

O altă modalitate de a calcula o aproximare a unei funcții este cea propusă de Henri Eugène Padé - o vom înțelege și noi până la finalul acestui subcapitol.

Vă recomand să vă revizuiți mai întâi seriile și polinoamele Taylor, întrucât vor reprezenta atât fundamentul, cât și limitarea acestei metode.

Necesitate#

Să considerăm funcția \(f:\mathbb{R}_+\rightarrow\left[1,\sqrt{2}\right)\) definită astfel:

\[ f(x)=\sqrt{\frac{1+2x}{1+x}} \]

Funcția \(f\) poate fi acum scrisă sub forma unei serii Taylor (mai precis, serii Maclaurin):

\[ f(x)=1+\frac{1}{2}x-\frac{5}{8}x^2+\frac{13}{16}x^3-\frac{141}{128}x^4+\dots \]

Din nefericire, această formă a ecuației NU va converge pentru nicio valoare \(x\in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\), chiar dacă funcția \(f\) este de clasă \(C^{\infty}\) pe întreg domeniul său de definiție, anume \(\mathbb{R}_+\).

În astfel de situații, putem evita necazul căutând reformularea funcției \(f\) astfel încât să depindă de o altă variabilă. Acest lucru nu este mereu ușor de făcut și presupune suficientă experiență cu asemenea probleme.

În cazul funcției \(f\) definită anterior, putem face următoarea schimbare de variabilă (deloc evidentă la o primă vedere!):

\[ x=\frac{u}{1-2u}\Leftrightarrow u=\frac{x}{1+2x} \]

Ce am obținut? Să înlocuim acum în \(f\) și să vedem:

Așadar, scriind funcția \(f\) față de \(u\), se obține:

\[ f\big(x(u)\big)=\sqrt{\frac{1+\dfrac{2u}{1-2u}}{1+\dfrac{u}{1-2u}}}=\sqrt{\frac{1-2u+2u}{1-2u+u}}=(1-u)^{-1/2} \]

Această funcție poate fi la rândul său scrisă sub forma unei serii Maclaurin:

\[ f\big(u(x)\big)=1+\frac{1}{2}u+\frac{3}{8}u^2+\frac{5}{16}u^3+\frac{35}{128}u^4+\dots \]

Folosind această scriere, se poate calcula inclusiv limita \(\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\), întrucât \(\lim_{x\rightarrow+\infty}u=0.5\), și deci, prin simpla înlocuire în seria anterioară (văzută eventual numeric, deci sub forma unui polinom) se poate aproxima că \(f(\infty)=\sqrt{2}\).

Cu toate acestea, metoda anterioară este imposibil de generalizat și greu de utilizat, așadar căutăm ceva mai simplu și poate chiar mai puternic.

Aproximări Padé#

Pentru început, vom scrie o funcție \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) sub forma unei serii de puteri centrată în \(0\):

\[ f(x)=\sum_{k\geq0}\alpha_kx^k \]

unde \(\alpha_0,\alpha_1,\dots\in\mathbb{R}\) sunt constante.

Atunci, aproximarea \((L,M)\)-Padé a lui \(f\), unde \(L,M\in\mathbb{N}\) sunt constante, se notează \(\big[L/M\big]_f\) și se exprimă sub forma unei împărțiri a două polinoame de grad cel mult \(L\), respectiv \(M\), anume \(P_L\in\mathbb{P}_{L'\leq L}\), respectiv \(Q_M\in\mathbb{P}_{M'\leq M}\):

\[ \boxed{\big[L/M\big]_f=\frac{P_L(x)}{Q_M(x)}} \]

Spunem despre această aproximare Padé că are gradul \(N=L+M\).

Totodată, ne dorim ca această aproximare să fie cât mai fidelă funcției \(f\), adică să coincidă cât mai mult cu seria sa de puteri. Acest lucru se rezumă la a minimiza:

\[ f(x)-\big[L/M\big]_f=\sum_{k\geq0}\alpha_kx^k-\frac{P_L(x)}{Q_M(x)} \]

Deoarece \(\big[L/M\big]_f\) are gradul \(N=L+M\), în cel mai bun caz, eroarea obținută poate fi de ordinul \(O\left(x^{N+1}\right)\) - putem deci să impunem cu încredere:

\[ \boxed{f(x)-\big[L/M\big]_f=O\left(x^{L+M+1}\right)} \]

Forma polinoamelor \(P\) și \(Q\)#

Am stabilit anterior că \(\big[L/M\big]_f\) reprezintă raportul a două poinoame, \(P_L\in\mathbb{P}_{L'\leq L}\) și \(Q_M\in\mathbb{P}_{M'\leq M}\). Fiind polinoame, ele pot fi scrise:

\[ \begin{cases} P_L(x)=p_0+p_1x+\dots +p_Lx^L\\ Q_M(x)=q_0+q_1x+\dots +q_Mx^M \end{cases} \]

unde \(p_0,\dots,p_L\in\mathbb{R}\) și \(q_0,\dots,q_M\in\mathbb{R}\) sunt constante.

Putem simplifica însă aceste polinoame? Putem găsi o scriere mai simplă pentru ele?

Răspunsul este că da! Polinoamele \(P_L\) și \(Q_M\) sunt angrenate într-o fracție, iar dacă împărțim atât numărătorul fracției, cât și numitorul la o valoare constantă, valoarea fracției rămâne neschimbată.

În situația noastră, dacă am împărți prin \(q_0\), am obține alt set de constante, iar termenul liber aferent polinomului \(Q_M\) ar deveni \(1\). Pentru simplitate, nu vom introduce notații/constante noi, dar vom folosi:

\[ \boxed{\begin{cases} P_L(x)=p_0+p_1x+\dots +p_Lx^L\\ Q_M(x)=1+q_1x+\dots +q_Mx^M \end{cases}} \]

Calcularea constantelor#

Pentru a se calcula termenii ce intră în scrierea lui \(P_L\) și a lui \(Q_M\), amintim faptul că încercăm să găsim o aproximare cât mai fidelă a funcției \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\). Din acest motiv, utilizăm ecuația în speță:

\[ f(x)-\frac{P_L(x)}{Q_M(x)}=O\big(x^{L+M+1}\big) \]

Reordonăm termenii:

\[ \Rightarrow f(x)\cdot Q_M(x)-P_L(x)=O\big(x^{L+M+1}\big)\cdot Q_M(x) \] \[ \boxed{f(x)\cdot Q_M(x)=P_L(x)+O\big(x^{L+M+1}\big)} \]

Pe de altă parte, utilizând scrierea funcției \(f\) sub formă de serie de puteri și desfășurând polinoamele \(P_L\), respectiv \(Q_M\), se obține următoarea ecuație:

\[ \left(\sum_{k\geq0}\alpha_kx^k\right)\left(1+\sum_{k=1}^Mq_kx^k\right)=\sum_{k=0}^{L}p_kx^k+O\big(x^{L+M+1}\big) \]

Tot ce depășește \(x^{L+M}\) în partea stângă a ecuației va fi mâncat de \(O\big(x^{L+M+1}\big)\). Prin simpla identificare a termenilor, se poate obține următorul sistem:

\[ \boxed{ \begin{cases} p_0&=\alpha_0\\ p_1&=\alpha_1+\alpha_0q_1\\ p_2&=\alpha_2+\alpha_1q_1+\alpha_0q_2\\ \,\,\vdots&\,\,\vdots\\ p_L&=\alpha_L+\alpha_{L-1}q_1+\dots+\alpha_0q_L\\ 0&=\alpha_{L+1}+\alpha_Lq_1+\dots+\alpha_{L-M+1}q_M\\ \,\,\vdots&\,\,\vdots\\ 0&=\alpha_{L+M}+\alpha_{L+M-1}q_1+\alpha_{L}q_M \end{cases} } \]

Unicitatea aproximării#

Atunci când există o aproximare Padé a funcției \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), \(\big[L/M\big]_f\), aceasta este unică.

Exemplificarea aproximării#

Să se determine toate aproximările Padé de grad \(N=2\) ale funcției \(f(x)=e^{-x}\).

Soluție#

Vom porni de la scrierea funcției \(f\) sub formă de serie de puteri (serie Maclaurin):

\[ f(x)=e^{-x}=\sum_{k\geq0}\frac{(-x)^k}{k!}=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\dots \]

Vrem să găsim acum aproximările Padé de forma \(\big[L/M\big]_f\), unde \(N=L+M\), \(L,M\in\mathbb{N}\).

Se obțin deci \(3\) cazuri, \((L,M)\in\left\{(0,2),(1,1),(2,0)\right\}\), pe care le vom studia pe rând:

1. Cazul 1. Considerăm \(L=0\) și \(M=2\):

   Sistemul de polinoame devine: \(\begin{cases}P_0(x)=p_0\\Q_2(x)=1+q_1x+q_2x^2\end{cases}\)

   Vrem să minimizăm eroarea, deci \(f(x)-\big[0/2\big]_f=O\left(x^3\right)\). Înlocuind:

   \[ \left(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\dots\right)\left(1+q_1x+q_2x^2\right)=p_0+O\left(x^3\right) \]

   Prin simpla identificare (sau prin utilizarea sistemului descris anterior), se obține:

   \[ \begin{cases} p_0&=1\\ 0&=q_1-1\\ 0&=\frac{1}{2}-q_1+q_2 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} p_0&=1\\ q_1&=1\\ q_2&=\frac{1}{2} \end{cases}\Rightarrow\boxed{\big[0,2\big]_f=\frac{1}{1+x+\frac{1}{2}x^2}} \]

2. Cazul 2. Considerăm \(L=1\) și \(M=1\):

   În această situație: \(\begin{cases}P_1(x)=p_0+p_1x\\Q_1(x)=1+q_1x\end{cases}\)

   Minimizând eroarea, obținem \(f(x)-\big[1/1\big]_f=O\left(x^3\left)\). Înlocuind:

   \[ \left(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\dots\right)\left(1+q_1x\right)=p_0+p_1x+O\left(x^3\right) \]

   Prin simpla identificare (sau prin utilizarea sistemului descris anterior), se obține:

   \[ \begin{cases} p_0&=1\\ p_1&=q_1-1\\ 0&=\frac{1}{2}-q_1 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} p_0&=1\\ q_1&=\frac{1}{2}\\ p_1&=-\frac{1}{2} \end{cases}\Rightarrow \boxed{\big[1,1\big]_f=\frac{1-\frac{1}{2}x}{1+\frac{1}{2}x^2}} \]

3. Cazul 3. Considerăm \(L=2\) și \(M=0\):

   În acest caz, \(\begin{cases}P_2(x)=p_0+p_1x+p_2x^2\\Q_0(x)=1\end{cases}\)

   Prin minimizarea erorii, adică \(f(x)-\big[2/0\big]_f=O\left(x^3\right)\), obținem:

   \[ 1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\dots=p_0+p_1x+p_2x^2+O\left(x^3\right) \]

   Se vor alege așadar primii \(3\) termeni ai seriei Maclaurin:

   \[ \begin{cases} p_0&=1\\ p_1&=-1\\ p_2&=\frac{1}{2} \end{cases}\Rightarrow \boxed{\big[2,0\big]_f=1-x+\frac{x^2}{2}} \]

Licență#

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0