Corectitudinea unei ODE#

Înainte de a rezolva o ecuație diferențială ordinară, este necesar să verificăm dacă aceasta este formulată corect.

Vom soluționa această problemă prin condiția Lipschitz.

Noțiuni introductive#

Care este soluția unei ecuații diferențiale?

Cu puțin noroc, vă mai amintiți de la matematică faptul că soluția unei ecuații diferențiale este întotdeauna o funcție.

Totodată, cum am discutat și în capitolul dedicat metodelor de interpolare, din punct de vedere numeric, o funcție este doar o mulțime de puncte, evaluări ce pot fi interpretate prin interpolare sau aproximare.

Condiția Lipschitz#

Să începem cu funcțiile analitice. O funcție \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) se consideră că satisface o condiție Lipshitz dacă există o valoare \(K\in\mathbb{R}_+\) astfel încât:

\[ \boxed{\left|f(a)-f(b)\right|\leq K|a-b|}\,,\,\forall a,b\in\mathbb{R} \]

Cum extindem pentru mai multe dimensiuni? Să ne încercăm intuiția!

Considerăm că funcția \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\) satisface o condiție Lipschitz în variabila \(x_k\), \(k\in\overline{1,n}\), dacă există \(K\in\mathbb{R}_+\) astfel încât:

\[\begin{split} \boxed{\left|f(x_1,...,x_{k-1},a,x_{k+1},...,x_n)-f(x_1,...,x_{k-1},b,x_{k+1},...,x_n)\right|\leq K|a-b|}\\ \forall a,b,x_i\in\mathbb{R},\,\forall i\neq k \end{split}\]

Se poate merge și mai departe, aducându-se ecuația la o formă și mai simplă - dacă împărțim în ambele părți la \(|a-b|\) și ne asigurăm că această diferență tinde către \(0\), obținem următoarea scriere diferențială:

\[ \boxed{\left|\frac{\partial f}{\partial x_k}(x_1,...,x_n)\right|\leq K} \]

Lipschitz pentru ODE#

Să încercăm să folosim această condiție pentru ecuațiile diferențiale.

Fie \(f(t,y)\) o funcție continuă pe întreg domeniul \(D=[a,b]\times([a,b]\rightarrow\mathbb{R})\), unde \([a,b]\subset\mathbb{R}\). O ecuație diferențială ordinară va respecta relația:

\[\boxed{\frac{d y}{d t}=f(t,y)}\]

Pentru a o rezolva, avem nevoie și de o evaluare într-unul din punctele \(t_0\in[a,b]\) - pentru moment, vom accepta relația \(y(a)=\alpha\in\mathbb{R}\).

Dacă \(f\) satisface o condiție Lipshitz pe domeniul \(D\) în variabila \(y\), atunci ecuația diferențială are o unică soluție pentru \(y(t)\), unde \(t\in[a,b]\).

"Bine pusă"#

Deși această definiție nu se va folosi în practică, ea este utilă pentru corolarul explicat mai jos.

O ecuație diferențială ordinară se consideră a fi "bine pusă" dacă:

• Există o unică soluție pentru funcția \(y(t)\);

• Exisă trei constante, \(\varepsilon_0,k,\beta_0\in\mathbb{R}_+\) astfel încât, oricum s-ar alege o valoare \(\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)\) și apoi funcția \(\beta(t)\) cu proprietatea că \(\left|\beta(t)\right|\lt \varepsilon\), \(\forall t\in[a,b]\), respectiv \(\left|\beta_0\right|\lt \varepsilon\), problema:

  \[\frac{d z}{d t}=f(t,z) + \beta(t),\,\,z(a)=\alpha+\beta_0\]

  are soluția unică \(z(t)\) ce satisface \(\left|z(t)-y(t)\right|\lt k\varepsilon\), \(\forall t\in[a,b]\).

Și mai simplu: dacă o funcție \(f\) satisface o condiție Lipshitz pe domeniul \(D\) în variabila \(y\), atunci ecuația diferențială cu condiție inițială este "bine pusă".

Cu alte cuvinte, dacă se respectă ecuația \(\frac{d y}{d t}=f(t,y),\,y(a)=\alpha\), atunci funcția se consideră "bine pusă".

Astfel, cunoscând fundamentul pe care se clădește, din punct de vedere numeric, o ecuație diferențială, se pot determina metode de calcul eficiente.

Licență#

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0