Cuadraturi#
Termenul de cuadratură (sau cvatratură, uneori găsit și sub forma quadratură) este un termen istoric ce face referire la procesul de a determina o arie.
În timpul grecilor antici, calcularea cuadraturii reprezenta construirea exclusiv folosind o riglă și un compas a unui pătrat care să aibă aria egală cu suprafața unei figuri date.
În literatura numerică, prin cuadraturi înțelegem integrale definite, căci acestea pot fi gândite drept aria aflată sub graficul unei funcții. Așadar, folosind această idee, aproximând aria de sub un grafic, vom găsi soluția numerică a unei integrale.
Cuadraturi numerice#
Porniim de la o funcție \(f:[x_0,x_n]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), să zicem integrabilă și continuă pe întreg intervalul de definiție.
Totodată, fie mulțimea \(M=\Big\{(x_k,y_k)\in\mathbb{R}^2\,|\,y_k=f(x_k),\,k\in\overline{0,n}\Big\}\), unde \(n\in\mathbb{N}^*\) și \(x_k\lt x_{k+1}\), \(\forall k\lt n\), o mulțime de \(n+1\) puncte distincte ordonate crescător, reprezentând evaluări ale funcției \(f\).
Dacă \((\omega_n)_n\in\mathbb{R}\) este un șir de numere reale, aproximarea:
\[ \boxed{ \int_{x_0}^{x_n}f(x)\,dx\approx\sum_{k=0}^n \omega_kf(x_k)=\sum_{k=0}^n \omega_ky_k } \]poartă denumirea de cuadratură numerică.
Bineînțeles, alegerea termenilor \(\omega_k\), \(\forall k\in\overline{0,n}\), va influența calitatea aproximării noastre.
Eroarea cuadraturii polinomiale#
Să considerăm polinomul Lagrange \(L:[x_0,x_n]\rightarrow\mathbb{R}\) ce interpolează toate punctele mulțimii \(M\) descrisă anterior:
\[ L(x)=\sum_{k=0}^n L_k(x)f(x_k) \]Amintim că prin \(L_k:[x_0,x_n]\rightarrow\mathbb{R}\) se înțelege multiplicatorul Lagrange asociat termenului \(x_k\), \(\forall k\in\overline{0,n}\). Cunoaștem la acest moment și eroarea introdusă de această interpolare:
\[ \varepsilon_L(x)=\frac{f^{(n+1)}\big(\xi(x)\big)}{(n+1)!}\prod_{k=0}^n(x-x_k) \]Executând operația de intergrare asupra lui \(f(x)=L(x)+\varepsilon(x)\), se obține:
\[ \int_{x_0}^{x_n}f(x)\,dx=\int_{x_0}^{x_n}L(x)\,dx+\int_{x_0}^{x_n}\varepsilon_L(x)\,dx\\ \]Tratăm pe rând termenii. Prima integrală se soluționează astfel:
\[ \int_{x_0}^{x_n}L(x)\,dx=\int_{x_0}^{x_n}\sum_{k=0}^n L_k(x) f(x_k)\,dx=\sum_{k=0}^n\left(\int_{x_0}^{x_n} L_k(x)\,dx\right) f(x_k) \]Observăm că rezultatul este echivalent cu formula \(L(x)=\sum_{k=0}^n L_k(x)f(x_k)\), unde prin \(\omega_k\) se înțelege \(\int_{x_0}^{x_n}L_k(x)\,dx\). Așadar, eroarea se va regăsi, firesc, în al doilea termen:
\[ \boxed{ \varepsilon(x)=\int_{x_0}^{x_n}\varepsilon_L(x)\,dx =\frac{1}{(n+1)!}\int_{x_0}^{x_n}f^{(n+1)}\big(\xi(x)\big)\cdot\prod_{k=0}^n(x-x_k)\,dx } \]Această formulă pentru eroare funcționează indiferent de funcția pe care o aproximăm cu un singur polinom, precum a fost cazul interpolării Lagrange.
Interpretări grafice#
În subcapitolele ce urmează, se vor descrie diferite cuadraturi, alături de interpretările lor geometrice. Acestea sunt mult mai intuitive decât fundamentul matematic prezentat aici, așadar vă recomandăm să treceți prin ele și să reveniți de fiecare dată când aveți neclarități cu privire la partea matematică.
Licență#
The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0 
