Metode Newton-Cotes#

Așa cum probabil ați sesizat, în subcapitolele precedente ne-am axat în mod special pe diverse instanțe ale metodelor de tip Newton-Cotes, mai precis Newton-Cotes închise.

Aceste metode se obțin prin integrarea unui polinom de grad din ce în ce mai mare folosind puncte echidistante.

Proveniența metodelor#

Fie \(f:[x_0,x_n]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) o funcție integrabilă și continuă pe întreg intervalul de definiție.

Totodată, fie mulțimea \(M=\Big\{(x_k,y_k)\in\mathbb{R}^2\,|\,y_k=f(x_k),\,k\in\overline{0,n}\Big\}\), unde \(n\in\mathbb{N}^*\) și \(x_k\lt x_{k+1}\), \(\forall k\lt n\), o mulțime de \(n+1\) puncte distincte și echidistante.

Atunci, metoda Newton-Cotes închisă pentru \(n+1\) puncte se va folosi de rația \(h=\frac{x_n-x_0}{n}\) între abscise consecutive (\(h=x_{k+1}-x_k\), \(\forall k\in\overline{0,n-1}\)) și propune următoarea aproximare:

\[ \boxed{\int_{x_0}^{x_n}f(x)\,dx\approx h\sum_{k=0}^nH_{n,k}\cdot f(x_k)} \]

unde prin \(H_{n,k}\) se înțelege următoarea valoare:

\[ \boxed{H_{n,k}=\frac{(-1)^{n-k+1}}{k!\cdot(n-k+1)!}\int_0^{n+1} \Big[\prod_{\substack{0\leq i\leq n+1\\ i\neq k}}(t-i)\Big]\,dt} \]

Astfel, se formează următorul tabel de coeficienți:

\(n\smallsetminus r\)		1	2	3	4	5
1		\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)
2		\(\dfrac{1}{3}\)	\(\dfrac{4}{3}\)	\(\dfrac{1}{3}\)
3		\(\dfrac{3}{8}\)	\(\dfrac{9}{8}\)	\(\dfrac{9}{8}\)	\(\dfrac{3}{8}\)
4		\(\dfrac{14}{45}\)	\(\dfrac{64}{45}\)	\(\dfrac{24}{45}\)	\(\dfrac{64}{45}\)	\(\dfrac{14}{45}\)

Se observă că, însumate, \(\sum_{k=0}^nH_{n,k}=n\). Totodată, din tabelul descris anterior, devin evidente metoda trapezelor, respectiv metodele Simpson 1/3 și 3/8.

Licență#

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0