Metoda aproximațiilor succesive pentru sisteme#

Revenim asupra conceptului de punct fix și încercăm să îl generalizăm pentru funcțiile de mai multe variabile, luând însă noțiunile pe rând. Vom avea apoi tot ceea ce ne trebuie pentru a găsi o metodă de a soluționa sistemele de ecuații neliniare.

Continuitate#

Pentru a explica punctele fixe în mai multe dimensiuni, trebuie mai întâi să definim ce înțelegem prin continuitate într-un astfel de domeniu.

Fie \(F(x_1,x_2,\dots, x_n)\) o funcție de \(n\in\mathbb{N}^*\) variabile, \(F:D\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\), și punctul (vectorul) \(\bm{x_0}\in D\). Dacă există:

• Toate derivatele parțiale ale lui \(F\), adică există \(\frac{\partial F}{\partial x_i}\), \(\forall i\in\overline{1,n}\);

• Constantele \(\delta,M\in\mathbb{R}_+\), alese astfel încât să se respecte:

  \[ \left|\bm{x}-\bm{x_0}\right|\lt \delta\text{ și }\left|\frac{\partial F}{\partial x_i}(\bm{x})\right|\leq M,\,\forall \bm{x}\in D,\,i\in\overline{1,n} \]

Atunci funcția \(F\) este continuă în punctul \(\bm{x_0}\).

Evident, o funcție \(F:D\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), se consideră continuă dacă aceasta este continuă în fiecare punct \(\bm{x_0}\in D\).

Puncte fixe#

Înainte de a continua, ne vom întoarce puțin la conceptul de punct fix și îl vom generaliza pentru mai multe dimensiuni. Fie \(G:D\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\) o funcție oarecare, \(n\in\mathbb{N}^*\). Fiecare valoare \(\bm{p}\in D\) pentru care \(G(\bm{p})=\bm{p}\) poartă denumirea de punct fix.

Sisteme drept funcții#

Un sistem de ecuații neliniare poate fi văzut prin prisma unei funcții de mai multe variabile \(F:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n\), \(n\in\mathbb{N}^*\).

Să presupunem că sunt definite \(n\) ecuații neliniare de forma:

\[ \begin{cases} f_1(\bm{x})=y_1\\ f_2(\bm{x})=y_2\\ \,\,\,\vdots\\ f_n(\bm{x})=y_n\\ \end{cases} \]

Dacă vom nota \(F(\bm{x})=\begin{bmatrix}f_1(\bm{x})\\f_2(\bm{x})\\\vdots\\f_n(\bm{x})\end{bmatrix}\), respectiv \(\bm{y}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}\), atunci ne dorim să găsim vectorul \(\bm{x}\) ce rezolvă sistemul \(F(\bm{x})=\bm{y}\).

Am transformat așadar un sistem de ecuații neliniare într-o egalitate dintre o funcție de mai multe variabile și un vector.

Observăm o legătură între această notație și produsul matrice-vector utilizat în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Metoda aproximațiilor succesive#

Metoda rămâne aproape neschimbată.

Fie \(G:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n\), \(n\in\mathbb{N}^*\) o funcție ce admite toate punctele fixe din mulțimea \(P=\{\bm{p_1},\bm{p_2},\dots,\bm{p_{\mu}}\}\), \(\mu\in\mathbb{N}\). Să considerăm șirul de vectori \((\bm{x_m})_{m\in\mathbb{N}}\):

\[ \boxed{\bm{x_k}=\begin{cases} \text{o aproximare inițială},&k=0\\ G(\bm{x_{k-1}}),&k\geq1 \end{cases}} \]

Să considerăm totodată \(\bm{p}=\lim\limits_{k\to\infty}\bm{x_k}\). Atunci, dacă șirul este convergent, are loc egalitatea:

\[ \bm{p}=\lim_{k\to\infty}\bm{x_k}=\lim_{k\to\infty}G(\bm{x_{k-1}})=G(\lim_{k\to\infty}\bm{x_{k-1}})=G(\bm{p}) \]

Așadar, \(\bm{p}=G(\bm{p})\), deci \(p\) este un punct fix.

Cu alte cuvinte, calculând un număr cât mai mare de elemente ale șirului \((\bm{x_{\mu}})_{m\in\mathbb{N}}\), ne vom apropia tot mai mult de unul dintre punctele fixe.

Pentru a soluționa ecuația neliniară \(F(\bm{x})=0\), unde \(F:D\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), vom genera, după cum am explicat anterior, funcția \(G:D^n\rightarrow\mathbb{R}\), definită prin \(G(\bm{x})=\bm{x}-F(\bm{x})\), asupra căreia putem aplica metoda aproximațiilor succesive.

Licență#

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0