Metoda Taylor#

O altă metodă prin care se pot rezolva ecuațiile diferențiale este metoda Taylor. În practică, se evită însă utilizarea sa - vom vedea în paragrafele următoare motivul pentru care preferăm, de exemplu, RK4.

Explicația analitică#

Fie o ecuație diferențială ordinară, de forma \(\frac{dy}{dt}=f(t,y)\). Considerăm totodată progresia aritmetică \((t_n)_{n\in\mathbb{N}}\) aleasă astfel încât \(t_k=t_0+kh\), \(\forall k=\overline{1,n}\), unde \(t_0,h\in\mathbb{R}\) sunt constante cunoscute; și evaluarea \(y(t_0)\) se consideră cunoscută.

Dacă desfășurăm \(y(t_{k+1})=y(t_k+h)\) în serie Taylor în jurul lui \(t_k\), se va obține:

\[\begin{split} y(t_{k+1})&=y(t_k)+y'(t_k)\cdot h+\frac{y''(t_k)}{2!}h^2+\frac{y^{(3)}(t_k)}{3!}h^3+\dots\\ &=y(t_k)+\sum_{i\geq1}\frac{y^{(i)}(t_k)}{i!}h^i \end{split}\]

Dar \(y'(t_k)=f\big(t_k, y(t_k)\big)\), așadar, înlocuind, obținem:

\[\begin{split} y(t_{k+1})&=y(t_k)+f\big(t_k, y(t_k)\big)\cdot h+\frac{df}{dt}\big(t_k, y(t_k)\big)\cdot h^2+\frac{d^2f}{dt^2}\big(t_k, y(t_k)\big)\cdot \frac{h^3}{3!}+\dots\\ &=y(t_k)+\sum_{i\geq1}\frac{d^{i-1}f}{dt^{i-1}}\big(t_k, y(t_k)\big)\cdot \frac{h^i}{i!} \end{split}\]

Dacă notăm aproximarea lui \(y(t_k)\) cu \(y_k\) și limităm seria Taylor la un polinom de grad \(n\in\mathbb{N}\), vom obține următoarea aproximare:

\[ \boxed{ y_{k+1}=y_k+\sum_{i=1}^n\frac{d^{i-1}f}{dt^{i-1}}\big(t_k, y_k\big)\cdot \frac{h^i}{i!}+O(h^{n+1}) } \]

Probleme evidente#

Este de remarcat faptul că este dificilă calcularea termenilor de forma \(\frac{d^if}{dt^i}\), \(\forall i=\overline{1,n-1}\). Aceștia nu pot fi calculați numeric, ci trebuie găsită o soluție analitică de derivare a funcției \(f\). Să ilustrăm pe scurt de ce această problemă este dificilă:

\[\begin{split} \frac{dy}{dt}&=f\\ \frac{d^2y}{dt^2}&=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}\\ \frac{d^3y}{dt^3}&=\frac{\partial^2f}{\partial t^2}+2\cdot\frac{\partial^2f}{\partial t\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t}\cdot\frac{\partial^2y}{\partial y^2}\\ &\,\,\,\vdots \end{split}\]

Aceste calcule sunt greu de realizat în practică, motiv pentru care se preferă alte metode, precum RK4 sau algoritmii pe care îi vom prezenta în subcapitolul următor, metodele Adams.

Licență#

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0