Metoda dreptunghiurilor#

Vom începe cu cea mai ușor de digerat metodă numerică de integrare, metoda dreptunghiurilor, însă vom menționa încă de la început că aceasta sufără de o imprecizie severă.

Metoda dreptunghiurilor (compuse)#

Fie \(f:[x_0,x_n]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) o funcție integrabilă și continuă pe întreg intervalul de definiție.

Totodată, fie mulțimea \(M=\Big\{(x_k,y_k)\in\mathbb{R}^2\,|\,y_k=f(x_k),\,k\in\overline{0,n}\Big\}\), unde \(n\in\mathbb{N}^*\) și \(x_k\lt x_{k+1}\), \(\forall k\lt n\), o mulțime de \(n+1\) puncte distincte ordonate crescător, reprezentând evaluări ale funcției \(f\).

Metoda dreptunghiurilor presupune aproximarea ariei aflate sub graficul funcției \(f\) folosind \(n\) dreptunghiuri, caracterizate fiecare prin lățimea dată de perechea \((x_k,x_{k+1})\), deci \(l_k=x_{k+1}-x_k\), \(\forall k\in\overline{0,n-1}\), și prin înălțimea \(\mu_k\), care poate reprezenta:

• Înălțimea părții stângi - se evaluează \(f\) în partea stângă, adică:

  \[\mu_k=f(x_k)\]

• Înălțimea părții drepte - asemănător, se evaluează \(f\) în partea dreaptă, adică:

  \[\mu_k=f(x_{k+1})\]

• Înălțimea de mijloc - caracterizăm înățimea prin evaluarea lui \(f\) în mijlocul intervalului \((x_k,x_{k+1})\), adică:

  \[\mu_k=f\left(\frac{x_k+x_{k+1}}{2}\right)\]

Astfel, indiferent de cum se alege înălțimea fiecărui dreptunghi (cu mențiunea că, în general, se va menține consistentă formula pentru înălțime pe tot intervalul de integrat), integrala va putea fi aproximată prin suma unor arii de dreptunghiuri, deci:

Alternativ, dacă se folosește un singur dreptunghi pentru a calcula această arie, metoda este cunoscută drept metoda dreptunghiului (lipsește "compusă" din denumire - foarte creativ și interesant, știu).

Vizualizare#

Să considerăm funcția \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x-1\), și \(5\) puncte echidistante aflate în intervalul \([0,2]\). Se formează astfel \(4\) dreptunghiuri folosite în integrarea noastră numerică.

Pentru această vizualizare, să considerând \(3\) metode distincte de a alege înălțimea:

Înălțimea aleasă din stânga

Înălțimea aleasă din dreapta

Înălțimea aleasă din mijloc

Dacă am executa și calculul matematic, integrala ar fi fost egală cu \(\int_0^2e^x-1\,dx=e^2-3\approx4.389\); aproximările noastre folosind aceste trei metode ne obțin însă:

Observăm cum eroarea cea mai bună se obține în mijloc. Vom estima acum această eroare la modul general.

Estimarea erorii#

Vom trata situația în care calculăm cuadratura utilizând metoda dreptunghiurilor cu înălțimea de mijloc, iar punctele se află la distanță egală între ele. În acest caz, dacă \(f:[x_0,x_n]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) este o funcție de clasă \(C^2\), atunci eroarea metodei va fi dată de:

Nu vom demonstra această relație în ediția curentă a cărții, însă, pentru cei interesați, am lăsat o trimitere[45] în subcapitolul dedicat.

Cod ilustrativ#

Implementăm acum funcția dreptunghi în Matlab, funcție ce exemplifică metoda dreptunghiurilor compuse. Considerăm:

• a - capătul stâng al integralei de calculat;

• b - capătul drept al integralei de calculat;

• n - numărul de dreptunghiuri ce se va folosi;

• f - funcția ce trebuie integrată.

În această situație, funcția va returna I, valoarea integralei căutate, adică \(I\approx\int_a^bf(x)\,dx\).

function I = dreptunghi(a, b, n, f)
    h = (b - a) / (2 * n);
    s = 0;
    for i = [1 : n]
        s += f(a + (2*i-1) * h);
    end
    I = 2 * h * s;
end

Concluzii#

Metoda dreptunghiurilor compuse este foarte ușor de înteles și de implementat, însă observăm deja cum rezultatele integrărilor noastre sunt foarte inexacte. Vom discuta curând metode mai puternice, făcând însă întâi un scurt detur prin metoda trapezelor.

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0