Factorizarea DVS#

Motivul pentru care suntem interesați de o astfel de factorizare este simplu - există posibilitatea ca vectorii proprii ai unei matrice \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), să nu fie liniar independenți, ceea ce ar însemna că matricea \(A\) nu este diagonalizabilă.

Pentru a înlocui diagonalizarea, folosim factorizarea DVS. În acest subcapitol, voi descrie foarte succint câteva proprietăți ale factorizării și cum poate fi aceasta utilă.

Forma completă (neredusă)#

Fie \(A\in\mathbb{R}^{n\times m}\) o matrice reală oarecare, \(n,m\in\mathbb{N}^*\). Atunci, există factorizarea:

\[ A=U\Sigma V^T \]

unde \(\Sigma\in\mathbb{R}^{n\times m}\) este o matrice ce conține pe diagonala principală \(r\in\mathbb{N}^*\) elemente pozitive și descrescătoare (din colțul stânga-sus către dreapta-jos), iar \(r\) reprezintă rangul matricei \(A\). Această factorizare este cunoscută drept factorizarea DVS completă.

Proprietăți#

Vom considera \(\Sigma'=\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \sigma_2 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & \sigma_r\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{r\times r}\) și, prin abuz de limbaj, \(\Sigma=\begin{bmatrix} \Sigma' & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times m}\), unde \(\sigma_1\geq\sigma_2\geq\dots\geq\sigma_r\).

Câteva dintre cele mai importante proprietăți ale acestei factorizări cuprind:

• Valorile \(\sigma_i\), \(\forall i\in\overline{1,r}\), reprezintă rădăcinile pătrate ale valorilor proprii corespunzătoare lui \(A^TA\), respectiv \(AA^T\);

• Coloanele matricei \(U\in\mathbb{R}^{n\times r}\) vor conține \(r\) vectori proprii ai lui \(AA^T\) și \(n-r\) vectori ortonormali din \(\mathcal{N}\left(A^T\right)\);

• Coloanele matricei \(V\in\mathbb{R}^{m\times r}\) vor conține \(r\) vectori proprii ai lui \(A^TA\) și \(n-r\) vectori ortonormali din \(\mathcal{N}\left(A\right)\);

• Matricele \(U\) și \(V\) sunt ortogonale.

O scriere alternativă a factorizării este bazată pe vectorii ce compun matricele în cauză:

\[ A=U\Sigma V^T=\sum_{i=0}^r\sigma_i\bm{u_i}\bm{v_i}^T \]

Pentru detalii suplimentare, vă rugăm să consultați direct cărțile lui Jun Lu[26][27] sau subcapitolul dedicat. Acest tip de factorizare, deși foarte interesant, nu se leagă prea bine de restul subcapitolelor din carte.

Licență#

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0