Introducere#
Veți sesiza că acest capitol se prezintă foarte teoretic și matematic; tocmai de aceea considerăm necesară introducerea unui subcapitol separat, dedicat exclusiv prezentării unor concepte matematice peste care să poată fi clădit mai departe.
Valori și vectori proprii#
Trebuie să începem de undeva, așadar pornim cu algebra liniară.
Fie \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) o matrice pătratică oarecare, \(n\in\mathbb{N}^*\). Atunci, numărul \(\lambda_i\in\mathbb{C}\) se numește valoare proprie a matricei \(A\) dacă există un vector nenul \(\bm{x}\in\mathbb{C}^n\), numit vector propriu asociat valorii proprii \(\lambda\), astfel încât:
\[\boxed{A\bm{x}=\lambda\bm{x}}\]Suplimentar, se definește polinomul complex de grad \(n\):
\[\boxed{p(\lambda)=\det(A-\lambda I_n)}\]Acesta poartă denumirea de polinom caracteristic, iar atunci când se soluționează ecuația caracteristică \(p(\lambda)=0\), se obțin valorile proprii ale matricei \(A\).
Spre exemplu, pentru \(A=\begin{bmatrix}-3&1\\2&-4\end{bmatrix}\), obținem polinomul caracteristic:
\[\begin{split} p(\lambda)&=\det(A-\lambda I_2)=\begin{vmatrix}-3-\lambda&1\\2&-4-\lambda\end{vmatrix}\\ &= (-3-\lambda)(-4-\lambda)-2=12+7\lambda+\lambda^2-2\\ &= (\lambda+2)(\lambda+5) \end{split}\]În consecință, valorile proprii sunt \(\lambda_1=-2\) și \(\lambda_2=-5\).
Totalitatea valorilor proprii formează spectrul (de valori proprii al) matricei \(A\) și se notează:
\[ \boxed{\lambda(A)= \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}} \]Un concept ce a fost utilizat anterior și care poate nu a fost introdus corespunzător este raza spectrală. Aceasta este definită drept cea mai mare valoare sub modul ce se regăsește în spectrul matricei \(A\), adică:
\[ \boxed{\rho(A)=\max_{\lambda_i\in\lambda(A)}\Big\{|\lambda_i|\Big\}} \]În exemplul anterior:
-
Spectrul matricei \(A\) este: \(\lambda(A)=\{-2, -5\}\);
-
Raza spectrală a matricei \(A\) este: \(\rho(A)=|-5|=5\).
Proprietăți#
Dacă \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) este o matrice pătratică reală, \(n\in\mathbb{N}^*\), atunci valorile sale proprii au câteva proprietăți speciale, anume:
-
Suma. Suma valorilor proprii este egală cu trace-ul matricei \(A\):
\[ \sum_{i=1}^n\lambda_i=\text{tr}(A)\left(=\sum_{i=1}^n A_{ii}\right) \]Avem deci la dispoziție o modalitate rapidă de a verifica dacă un set de valori poate reprezenta sau nu spectrul matricei \(A\).
-
Produsul. Produsul valorilor proprii este egal cu determinantul matricei \(A\):
\[ \prod_{i=1}^n\lambda_i=\det(A) \]Iată așadar o modalitate de a calcula determinantul oricărei matrice.
-
Scalarea vectorilor proprii. Dacă \(\bm{x}\in\mathbb{C}^n\) este un vector propriu asociat valorii proprii \(\lambda_i\in\lambda(A)\), \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), atunci, pentru oricare valoare constantă \(\alpha\in\mathbb{C}^*\), vectorul \(\alpha\bm{x}\) va fi de asemenea un vector propriu al matricei \(A\) și va fi asociat aceleiași valori proprii.
Concluzionăm deci că vectorii proprii reprezintă doar direcții, nefiind unic determinați.
Matrice simplă#
Ne plac lucrurile simple...
O matrice \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), ce admite exact \(n\) vectori proprii liniar independenți se consideră simplă. Se poate demonstra ușor că o matrice care are \(n\) valori proprii distincte este simplă, însă reciproca nu este (neapărat) adevărată (o matrice simplă nu are obligatoriu \(n\) valori proprii).
Suplimentar, se definește o bază proprie a matricei simple \(A\) drept o mulțime alcătuită din \(n\) vectori prin care se poate forma întreg subspațiul propru ai lui \(A\).
Tot pe baza exemplului anterior, având două valori proprii distincte, înseamnă că matricea \(A\) este simplă.
Baza proprie a acesteia este dată de:
-
\(\lambda_1=-2\), prin \(A\bm{x}=\lambda_1\bm{x}\Rightarrow\begin{bmatrix}-3&1\\2&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=-2\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\)
Se obține sistemul: \(\begin{cases}-x_1+x_2=0\\2x_1-2x_2=0\end{cases}\Rightarrow x_1=x_2\Rightarrow\bm{x}=\begin{bmatrix}\alpha\\\alpha\end{bmatrix}\), \(\alpha\in\mathbb{R}\)
-
\(\lambda_1=-5\), prin \(A\bm{x}=\lambda_2\bm{x}\Rightarrow\begin{bmatrix}-3&1\\2&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=-5\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\)
Se obține sistemul: \(\begin{cases}2x_1+x_2=0\\2x_1+x_2=0\end{cases}\Rightarrow x_2=2x_1\Rightarrow\bm{x}=\begin{bmatrix}2\alpha\\\alpha\end{bmatrix}\), \(\alpha\in\mathbb{R}\)
Așadar, deși există o infinitate de baze proprii posibile, forțând \(\alpha=1\), obținem baza proprie \(B=\left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\right\}\).
Multiplicități algebrice#
Să zicem că polinomul caracteristic poate fi scris drept \(p(\lambda)=\prod_i(\lambda_i-\lambda)^{n_i}\). Astfel, toate valorile \(\lambda_i\) vor reprezenta valori proprii.
Ordinul de multiplicitate \(n_i\) asociat rădăcinii \(\lambda_i\) a polinomului caracteristic poartă denumirea de multiplicitate algebrică a valorii proprii \(\lambda_i\in\lambda(A)\). Dacă \(n_i=1\), valoarea proprie se numește simplă.
În exemplul nostru, ambele valori proprii sunt simple, întrucât multiplicitățile algebrice asociate acestora sunt unitare.
Alte proprietăți#
Multe alte proprietăți pot fi găsite în bibliografie[47], însă este imposibilă tratarea fiecăreia în parte în această carte. Pentru alte informații, recomandăm cititorilor să arunce un ochi pe capitolul dedicat.
Transformări de asemănare#
O transformare foarte importantă când discutăm despre valori proprii este cea de asmănare, așadar tratați această secțiune cu foarte mare atenție!
Fie două matrice \(A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\). Acestea se consideră asemenea dacă și numai dacă există o matrice nesingulară \(T\in\mathbb{C}^{n\times n}\) cu proprietatea:
\[ \boxed{B=TAT^{-1}} \]Folosim notația \(A\sim B\).
În această situație, se observă următoarele proprietăți semnificative:
-
Conservarea spectrului. Spectrul de valori proprii al matricei \(A\) este egal cu spectrul de valori proprii al matricei \(B\), adică:
\[ A\sim B\Rightarrow \lambda(A)=\lambda(B) \]
-
Transferul vectorilor proprii. Dacă vectorul \(\bm{x}\in\mathbb{C}^n\) este vector propriu al matricei \(A\) (asociat cu valoarea proprie \(\lambda_i\in\lambda(A)\)), atunci vectorul \(\bm{y}=T\bm{x}\in\mathbb{C}^n\) este vector propriu al matricei \(B\) (asociat cu aceeași valoare proprie \(\lambda_i\in\lambda(B)\)):
\[ \begin{cases}A\sim B\\A\bm{x}=\lambda\bm{x}\end{cases} \Rightarrow BT\bm{x}=\lambda T\bm{x} \]
Matrice diagonalizabilă#
O proprietate foarte importantă a unei matrice diagonale este că spectrul său este dat de elementele aflate pe diagonala principală.
Folosind ecuația caracteristică, se ajunge trivial la acest rezultat.
Din acest motiv, vrem să reducem celelalte matrice la matrice diagonale.
Numim o matrice \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\) diagonalizabilă dacă aceasta este asemenea cu o matrice diagonală.
Este evident că matricea diagonală față de care \(A\) trebuie să fie asemenea va conține pe diagonala principală, într-o ordine arbitrară, valorile proprii ale matricei \(A\).
Acest lucru reiese din proprietățile matricelor asemenea - spectrul trebuie să coincidă. Suplimentar, ordinea poate fi arbitrară întrucât se poate demonstra că \(A\sim \pi A\), \(\forall A\in\mathbb{R}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), unde \(\pi\in\mathbb{R}^{n\times n}\) este o matrice de permutare.
Matrice Jordan#
Cea mai simplă formă la care poate fi redusă o matrice pătratică \(A\) prin transformări de asemănare am demonstrat că este forma diagonală, dar, din nefericire, nu toate matricele pot fi reduse la aceasta. Din acest motiv, există forma Jordan.
Fie \(J\in\mathbb{C}^{n\times n}\) o matrice care conține pe diagonala principală \(k\in\overline{1,n}\) blocuri de matrice Jordan, notate cu \(J_i\in\mathbb{C}^{n_i\times n_i}\), \(i\in\overline{1,k}\), iar în rest conține numai valori nule; forma sa va fi:
\[ J=\begin{bmatrix} J_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & J_2 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & J_k \end{bmatrix} \]unde fiecare \(J_i\in\mathbb{C}^{n_i\times n_i}\) (bloc de matrice Jordan) are forma unei matrice bandă ce are ocupată diagonala aflată deasupra celei principale cu valori de \(1\), iar diagonala principală conține aceeași valoare, adică:
\[ J_i=\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & \lambda_i & 1 & \dots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_i & \dots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_i & 1\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda_i \end{bmatrix} \]Matricea \(J\) se numește matrice Jordan, iar oricare ar fi matricea \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), există o matrice nesingulară \(T\in\mathbb{C}^{n\times n}\) astfel încât \(T^{-1}AT=J\).
Așadar, matricea Jordan este universal valabilă!
Numărul și dimensiunile blocurilor Jordan asociate fiecărei valori proprii distincte din spectrul unei matrice \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), sunt unice, însă ordonarea acestor blocuri poate fi aleasă la întâmplare.
Stabilitatea numerică#
Din nefericire, calculul numeric al formei canonice Jordan nu este recomandat pentru calculul valorilor proprii într-o aritmetică aproximativă, întrucât structura Jordan este foarte sensibilă la perturbațiile numerice.
Cercurile lui Gershgorin#
O proprietate simpatică a valorilor proprii se regăsește în geometrie.
Toate valorile proprii ale unei matrice \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), se regăsesc pe cercurile (discurile) lui Gershgorin. Fiecare astfel de cerc se definește prin mulțimea:
\[ D_i=\left\{z\in\mathbb{C}\Big| |z-A_{ii}|\leq\sum_{j=1,j\neq i}^n |A_{ij}|\right\} \]Așadar, relația dintre spectrul lui \(A\) și cercurile \(D_1,\dots,D_n\) este următoarea:
\[ \boxed{\lambda(A)\subset\bigcup_{i=1}^n D_i} \]Fie \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) o matrice pătratică complexă, \(n\in\mathbb{N}^*\). Totodată, fie \(\lambda\in\lambda(A)\) o valoare proprie, respectiv \(\bm{x}\) vectorul propriu asociat acesteia. Bineînțeles, există o valoare \(i\in\overline{1,n}\) astfel încât \(|x_i|\) să fie maxim, adică:
\[ \exists i\in\overline{1,n}:|x_i|=\max_{j\in\overline{1,n}}\Big\{|x_j|\Big\} \Leftrightarrow \exists i\in\overline{1,n}: \left|\frac{x_j}{x_i}\right|\leq1,\forall j\in\overline{1,n} \]Știm, prin definiție, faptul că \(A\bm{x}=\lambda\bm{x}\). Scris desfășurat:
\[ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix} \]Așadar, putem accepta următoarea formă pentru a \(i\)-a linie:
\[ \sum_{j=1}^n A_{ij}x_j=\lambda x_i\Rightarrow (\lambda - A_{ii}) x_i = \sum_{j=1,j\neq i}^n A_{ij}x_j \]Prin împărțirea la \(x_i\) și prin scrierea relației sub modul, se obține următoarea inegalitate:
\[ \left|\lambda-A_{ii}\right|\leq\sum_{j=1,j\neq 1}^n\left|A_{ii}\right|\cdot\left|\frac{x_j}{x_i}\right|\leq\sum_{j=1,j\neq 1}^n\left|A_{ii}\right| \]Observăm deci cum \(\lambda\in D_i\).
Extragerea valorilor proprii#
Suplimentar, se poate demonstra că, dacă unul dintre cercurile lui Gershgorin asociat unei matrice \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\), este izolat de celelalte (intersecția sa cu oricare alt disc formează mulțimea vidă), atunci acesta conține exact o valoare proprie a matricei \(A\).
Astfel, cercurile lui Gershgorin reprezintă un mijloc de extracție a acestor valori proprii.
Licență#
The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0 
