Metoda aproximațiilor succesive#

Vom începe acest subcapitol cu câteva informații despre punctele fixe, iar apoi vom prezenta o metodă numerică ce le utilizează pentru a soluționa ecuații neliniare.

Puncte fixe#

Fie $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ o funcție oarecare. Fiecare valoare $p\in D$ pentru care evaluarea funcției $f$ întoarce tot $p$, adică $f(p)=p$, poartă denumirea de punct fix.

O definiție foarte simplă și aparent nelegată de soluționarea ecuațiilor neliniare. Să insistăm...

Legătura cu ecuațiile neliniare#

Încercăm să găsim acum o bijecție între punctele fixe și ecuațiile neliniare.

Fie funcția $g:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, aleasă astfel încât $g$ să admită toate punctele fixe din mulțimea $P=\{p_1,p_2,\dots,p_n\}$, $n\in\mathbb{N}$. Dacă, suplimentar, definim funcția $f(x)=x-g(x)$, putem studia valorile pe care le va lua aceasta:

\[ f(x)=x-g(x)=\begin{cases} 0,&\text{dacă }x\in P\\ \text{o valoare nenulă},&\text{dacă }x\notin P \end{cases} \]

Alternativ, funcția $g(x)$ poate fi scrisă în funcție de $f(x)$ (prin simpla rearanjare a termenilor):

\[ g(x)=x-f(x)=\begin{cases} p,&\text{dacă }x\in P\\ \text{o valoare diferită de $p$},&\text{dacă }x\notin P \end{cases} \]

Așadar, cele două funcții dovedesc echivalența dintre soluționarea unei ecuații neliniare cu aflarea punctelor sale fixe. Reținem această idee și facem un detur prin cea mai interesantă teoremă din jurul punctelor fixe.

Teorema lui Banach#

Sintetizată, teorema lui Banach pentru puncte fixe arată astfel:

Fie $g:[a,b]\subseteq\mathbb{R}\rightarrow[a,b]$ o funcție continuă pe întreg intervalul $[a,b]$. Atunci, funcția $g$ va avea cel puțin un punct fix în intervalul $[a,b]$.

Suplimentar, dacă funcția $g$ este derivabilă pe intervalul $(a,b)$ și $\Big|g'(x)\Big|\lt 1$, $\forall x\in[a,b]$, atunci $g$ are un unic punct fix atractiv (vom reveni) în $[a,b]$.

Exemplu

Să considerăm funcția $g(x)=\cos(x)$, $g:\mathbb{R}\rightarrow[-1,1]$. Care sunt punctele sale fixe?

Să transformăm întâi această problemă într-una de soluționare a ecuației neliniare dată de $f(x)=0$, unde $f(x)=x-\cos(x)$. Studiem funcția prin derivare, obținând $f'(x)=1-\sin(x)$; rezultatul $f'(x)\geq0$, $\forall x\in\mathbb{R}$, deci funcția $f$ este crescătoare.

Totodată, funcția $f$ este continuă, iar $f(\pm\infty)=\pm\infty$, deci $f(x)=0$ are soluție unică. Soluția este dată de:

\[ f(x)=0\rightarrow x=\cos(x) \]

Cu alte cuvinte, punctul în care ecuațiile $y=x$ și $y=\cos(x)$ se intersectează va reprezenta unicul punct fix al funcției $g$.

Metoda aproximațiilor succesive#

Fie $g:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ o funcție ce admite toate punctele fixe din mulțimea $P=\{p_1,p_2,\dots,p_n\}$, $n\in\mathbb{N}$. Să considerăm suplimentar șirul $(x_m)_{m\in\mathbb{N}}$:

\[ \boxed{x_k=\begin{cases} \text{o aproximare inițială},&k=0\\ g(x_{k-1}),&k\geq1 \end{cases}} \]

Să considerăm totodată $p=\lim\limits_{k\to\infty}x_k$. Atunci, dacă șirul $(x_m)_{m\in\mathbb{N}}$ este convergent, va avea loc egalitatea:

\[ p=\lim_{k\to\infty}x_k=\lim_{k\to\infty}g(x_{k-1})=g(\lim_{k\to\infty}x_{k-1})=g(p) \]

Așadar, $p=g(p)$, deci $p$ este un punct fix.

Ce am realizat?

Cu alte cuvinte, calculând un număr cât mai mare de elemente ale șirului $(x_m)_{m\in\mathbb{N}}$, ne vom apropia tot mai mult de unul dintre punctele fixe!

Notă: Dacă șirul converge către $p_i$ atunci când se alege $x_0\in V$, unde $V$ este o vecinătate a lui $p_i$, înseamnă că punctul $p_i$ este un punct fix atractiv. Matematica nu ne ajută să le definim mai precis în această carte.

Pentru a soluționa ecuația neliniară $f(x)=0$, unde $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, vom genera, după cum am explicat anterior, funcția $g:D\rightarrow\mathbb{R}$, definită prin $g(x)=x-f(x)$, asupra căreia putem aplica metoda aproximațiilor succesive.

Convergența#

Se garantează că, dacă poate fi folosită, această metodă este convergentă către un punct fix atractiv.

Demonstrație

Dovedim convergența demonstrând că diferența între $x_k$ și punctul fix atractiv $p$ tinde către $0$ atunci când $k\to\infty$.

Deoarece funcția $g$ este derivabilă pe intervalul $(x_k,p)$ și este continuă pe intervalul $[x_k,p]$, înseamnă, conform teoremei lui Lagrange, că există un punct $c\in(x_k,p)$ astfel încât $g(x_k)-g(p)=g'(c)\cdot(x_k-p)$.

Particularizând pentru un $k$ fix, obținem $|x_{k+1}-p|=g'(c)\cdot|x_k-p|$. Dar, deoarece ipoteza de la care se pleacă în aplicarea metodei impune ca $g'(x)\lt 1$, rezultă că $|x_{k+1}-p|\lt |x_k-p|$.

Astfel, metoda aproximațiilor succesive, atunci când poate fi aplicată, converge întotdeauna.

Concluzie#

Acceptăm, fără demonstrație, faptul că această metodă funcționează numai în situația în care funcția are un unic punct fix atractiv către care algoritmul să conveargă (adică se aplică Teorema lui Banach pentru punctele fixe). Cu toate acestea, avem garanția convergenței. Vom vedea în subcapitolele următoare alte modalități de a extrage soluțiile ecuațiilor neliniare.

Licență#

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0