Serii și polinoame Taylor#
Cu siguranță seriile și polinoamele Taylor vă sunt cunoscute de la analiza matematică de facultate, nu? Fiți siguri că le vom folosi peste tot începând cu acest moment!
Dacă aveți însă nevoie de o scurtă recapitulare (ca să fiu sincer, o dată la ceva timp și eu mai revin la acest subcapitol), o găsiți aici - cel puțin, detaliile importante.
Pe parcursul cărții, vom face trimiteri aici ori de câte ori va fi nevoie.
Funcții de o singură variabilă#
Să elaborăm, pentru moment seriile și polinoamele Taylor pentru funcțiile de o singură variabilă. Acestea sunt cele mai intuitive și vom putea clădi apoi cu ușurință o generalizare pentru mai multe variabile.
Seria Taylor#
Fie \(f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) o funcție derivabilă de o infinitate de ori în punctul \(x_0\in D\). Atunci, în general, funcția poate fi scrisă sub formă de serie Taylor în jurul unui punct \(x_0\in D\), adică poate lua forma următoarei serii de puteri:
\[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\dots \]unde \(x_0\in\mathbb{R}\) este o valoare constantă. Alternativ, ecuația anterioară poate fi restrânsă:
\[ \boxed{ f(x)=\sum_{n\geq0}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n } \]Notația \(f^{(k)}\) se citește "\(f\) derivat de \(k\) ori", \(k\in\mathbb{N}\). În situația în care \(k=0\), adică se cere \(f\) derivat de \(0\) ori, vom utiliza chiar valoarea lui \(f\), deci \(f^{(0)}=f\).
Suplimentar, dacă se consideră \(x_0=0\), dezvoltarea este cunoscută sub denumirea de serie Maclaurin.
Probabil vă amintiți de la analiza matematică faptul că seriile Taylor nu funcționează pentru orice funcție. Spre exemplu, seria Taylor caracteristică lui \(|x|\) în jurul punctului \(x_0=0\) nu poate fi calculată, deoarece aceasta nu este derivabilă în acel punct.
O altă problemă ce poate apărea este convergența seriei. De exemplu, funcția \(\ln x\) în jurul lui \(x_0=1\) se va scrie:
\[f(x)=-\sum_{n\geq1}(-1)^n\cdot\frac{(x-1)^n}{n}\]Evident, cum \(\frac{(x-1)^n}{n}\ll\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}\) pentru \(x\gt 2\), \(f(x)\) diverge.
Noi însă NU ne vom bate capul cu excepțiile! Vom considera, pentru nevoile noastre de ingineri, că seriile Taylor se pot aplica oriunde, oricând!
Voi restricționa demonstrația pentru seriile Maclaurin (\(x_0=0\)), aceasta fiind similară și pentru cazul generalizat.
Fie \(f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) o funcție derivabilă de o infinitate de ori în punctul \(x_0=0\in D\). O altă modalitate de a scrie valoarea lui \(f(x)\) ar putea fi utilizând integrala lui \(f'(x)\), adică:
\[ f(x)=f(0)+\int_{0}^xf'(t)\,dt \]Vom demonstra, pentru început, că \(\int_{0}^xf'(t)\,dt=\int_{0}^xf'(x-t)\,dt\). Dacă se face în cea de-a doua integrală schimbarea de variabilă \(u=x-t\Rightarrow du=-dt\), se obține:
\[ \int_{0}^xf'(x-t)\,dt=-\int_{x-0}^{x-x}f'(u)\,du=-\int_{x}^{0}f'(u)\,du=\int_{0}^{x}f'(u)\,du \]Așadar, \(\int_{0}^xf'(t)\,dt=\int_{0}^xf'(x-t)\,dt\). Utilizând această proprietate, ne întoarcem în scrierea lui \(f(x)\):
\[ f(x)=f(0)+\int_{0}^xf'(t)\,dt\Leftrightarrow f(x)=f(0)+\int_{0}^xf'(x-t)\,dt \]Vom rezolva acum această integrală utilizând în mod repetat integrarea prin părți:
\[\begin{split} f(x)&=f(0)+\int_{0}^xf'(x-t)\,dt\\ &=f(0)+f'(0)\cdot x+\int_{0}^xf''(x-t)\cdot t\,dt\\ &=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{1}{2}\int_{0}^xf^{(3)}(x-t)\cdot t^2\,dt\\ &=\dots\\ f(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^n+\frac{1}{n!}\int_0^xf^{(n+1)}(x-t)\cdot t^n\,dt \end{split}\]Atunci când \(n\) tinde la infinit, va rămâne doar seria Maclaurin.
Polinomul Taylor#
Bineînțeles, acest rezultat matematic este foarte util, însă, din punct de vedere numeric, calculatorul nu poate reține o infinitate de termeni. Așadar, când este necesară doar o anumită precizie, se vor considera numai primii \(n\in\mathbb{N}\) termeni:
\[ \boxed{ f(x)\approx P(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k} \]Polinomul \(P\in\mathbb{R}[x]\) se numește polinom Taylor. Deoarece acesta aproximează funcția \(f\) (NU o înlocuiește precum seria Taylor), putem considera diferența dintre seria Taylor a funcției \(f\) și polinomul \(P\) restul, notat de obicei cu \(R\in\mathbb{R}[x]\):
\[ \boxed{R(x)=f(x)- P(x)} \]După ce veți parcurge subcapitolul de interpolare Lagrange, veți înțelege de ce se poate simplifica notația lui \(R(x)\) prin inecuația:
\[ \boxed{R(x)\leq\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}} \]unde \(\Big|f^{(n+1)}(\xi)\Big|\) este maxim, iar \(\xi\in\Big[\min\{x_0,x\},\max\{x_0,x\}\Big]\).
Vă încurajăm să reveniți la aceste noțiuni odată ce ați trecut prin interpolare.
Funcții de două variabile#
Putem acum să generalizăm explicațiile anterioare, făcând un pas cel puțin curajos către funcțiile de două variabile.
Seria Taylor#
Fie \(f:D\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) o funcție derivabilă de o infinitate de ori în punctul \(\bm{a}=(x_0,y_0)\in D\). Atunci, în general, funcția poate fi scrisă sub forma seriei Taylor în jurul punctului \(\bm{a}\), adică:
\[\begin{split} f(x,y)=&f(\bm{a})+\\&\left[(x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(\bm{a})+(y-y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(\bm{a})\right]+\\ &\left[(x-x_0)^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\bm{a})+(x-x_0)(y-y_0)\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a\bm{a})+(y-y_0)^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\bm{a})\right]+\\&\dots \end{split}\]Alternativ, ecuația anterioară poate fi restrânsă sub forma:
\[ \boxed{ f(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{n!}\sum_{j=0}^nC_n^j(x-x_0)^{n-j}(y-y_0)^j\frac{\partial^nf}{\partial x^{n-j}\partial y^j}(\bm{a})\right] } \]De data aceasta însă, nu vom mai prezenta o demonstrație, întrucât aceasta ar depăși cu mult materia pe care încercăm să o predăm.
Polinomul Taylor#
Asemănător conceptului explicat mai sus pentru o singură variabilă, limitând valoarea lui \(n\in\mathbb{N}^*\), se va obține un polinom \(P(x,y)\) ce aproximează funcția \(f\) suficient de bine:
\[ \boxed{ f(x,y)\approx P(x,y)=\sum_{k=0}^{n}\left[\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^kC_k^j(x-x_0)^{k-j}(y-y_0)^j\frac{\partial^kf}{\partial x^{k-j}\partial y^j}(\bm{a})\right]} \]În acest caz, restul asociat polinomului, \(R(x,y)=f(x,y)-P(x,y)\), se poate exprima în forma Lagrange folosind următoarea formulă[54]:
\[ \boxed{ R(x,y)\leq\frac{1}{(n+1)!}\sum_{j=0}^{n+1}C_{n+1}^j(x-x_0)^{n+1-j}(y-y_0)^j\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n+1-j}\partial y^j}(\xi,\mu)} \]unde \(\Big|f^{(n+1)}(\xi,\mu)\Big|\) este maxim, iar \((\xi,\mu)\in\Big[\min\{x_0,x\},\max\{x_0,x\}\Big]\times\Big[\min\{y_0,y\},\max\{y_0,y\}\Big]\).
Intimidant, desigur - însă aceste concepte vor fi utilizate în capitolele următoare.
Licență#
The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0