Introducere#

În urmă cu puțin timp, subcapitolul ce discuta despre factorizarea LU propunea modalități rapide și ușor de implementat pentru rezolvarea unui sistem superior triunghiular (SST), respectiv a unui sistem inferior triunghiular (SIT) (detalii aici).

De data aceasta, nu se va mai încerca o factorizare LU a matricei coeficienților sistemului liniar de ecuații în prealabil, ci se va încerca direct manipularea acesteia pentru a o aduce la o formă superior triunghiulară.

Transformări elementare#

Să recapitulăm ce înseamnă transformările elementare în cadrul unui sistem de ecuații liniare oarecare.

Fie un sistem de ecuații liniare cu \(n\in\mathbb{N}^*\) ecuații și \(m\in\mathbb{N}^*\) necunoscute. Un astfel de sistem poate fi modificat fără a i se schimba soluțiile prin aplicarea oricăreia/oricărora dintre următoarele operații:

1. Interschimbarea a două ecuații între ele.

   Această operație nu modifică în niciun fel sistemul. Spre exemplu, pentru sistemul \( \begin{cases} x + y + 2z &= 1\\ 4x + 2y - 6z &= 14 \\ 2x + y &= 4 \end{cases}\) , interschimbând ultimele două ecuații nu va avea niciun efect asupra soluției: \( \begin{cases} x + y + 2z &= 1\\ 2x + y &= 4\\ 4x + 2y - 6z &= 14 \end{cases} \Leftrightarrow(x,y,z)=(1,2,-1)\) .

2. Înmulțirea unei ecuații cu un coeficient nenul.

   Deoarece această operație poate fi anulată împărțind oricând ecuația în cauză la același coeficient, sistemul inițial \(\begin{cases} x + y + 2z &= 1\\ 4x + 2y - 6z &= 14 \\ 2x + y &= 4 \end{cases}\) poate fi rescris drept \(\begin{cases} 3x + 3y + 6z &= 3\\ 2x + y - 3z &= 7 \\ 2x + y &= 4 \end{cases}\) prin înmulțirea cu \(3\) a primei ecuații și va avea aceeași soluție, \((x,y,z)=(1,2,-1)\).

3. Adăugarea (scalată) a oricărei ecuații la o alta.

   Dacă ambele ecuații fac parte dintr-un sistem ce are o unică soluție, această operație nu va încurca cu nimic, deoarece vectorii corespunzători fiecărei ecuații în parte sunt independenți liniar. Drept exemplu, sistemul \( \begin{cases} x + y + 2z &= 1\\ 4x + 2y - 6z &= 14 \\ 2x + y &= 4 \end{cases}\) se va transforma în \(\begin{cases} 3x + 2y - z &= 8\\ 4x + 2y - 6z &= 14 \\ 2x + y &= 4 \end{cases}\) prin adăugarea la prima ecuație a jumătate din cea de-a doua Bineînțeles, soluția \((x,y,z)=(1,2,-1)\) rămâne universal valabilă.

Varianta matriceală#

Toate aceste proprietăți pot fi interpretate și din punct de vedere matriceal.

Fie \(A\bm{x}=\bm{b}\) un sistem de ecuații liniare. Operațiile descrise anterior pot fi aplicate direct pe liniile matricei \(\overline{A}\in\mathbb{R}^{n\times (m+1)}\), unde \(\overline{A}=\begin{bmatrix}A&\bm{b}\,\end{bmatrix}\), așadar:

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m}\\ \,\,\vdots & \,\,\vdots & \ddots & \,\,\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm} \end{bmatrix}\text{și }\bm{b} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{bmatrix} \Rightarrow \overline{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} & b_2\\ \,\,\vdots & \,\,\vdots & \ddots & \,\,\vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm} & b_n \end{bmatrix} \]

Aceste operații sunt cunoscute drept transformări elementare de linii și se vor afla la baza tutror eliminărilor Gaussiene pe care le vom discuta în acest capitol. Echivalența între sistem și matrice este evidentă:

1. Interschimbarea a două linii (sau coloane) între ele este echivalentă cu interschimbarea a două ecuații (sau variabile) din sistemul inițial;

2. Înmulțirea tuturor elementelor de pe o linie (sau coloană) cu o constantă nenulă este echivalentă cu înmulțirea unei ecuații (sau a unei variabile) din sistemul inițial;

3. Adăugarea (scalată) a unei linii (sau a unei coloane) este echivalentă cu adunarea a două ecuații (sau a două variabile), eventual scalate, din sistemul inițial.

Licență#

The book "Metode Numerice", written by Valentin-Ioan Vintilă, is licensed under CC BY-NC-SA 4.0